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二次函数顶点坐标公式以及抛物线顶点坐标公式

2019-07-22浏览量:563次

二次函数顶点坐标公式以及抛物线顶点坐标公式
    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
    (1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0),则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
    (2)顶点式:y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数,a≠0).
    (3)交点式(与x轴):y=a(x-x1)(x-x2)
    (4)两根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,a≠0.
    说明:
    (1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h=0时,抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时,抛物线y=ax2的顶点在原点.
    (2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2).
    抛物线顶点坐标公式
    y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标公式是(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
    y=ax2+bx的顶点坐标是(-b/2a,-b2/4a)
    相关结论
    过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有
    ① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立;
    ② 焦点弦长:|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2];
    ③ (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P;
    ④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0);
    ⑤焦半径:|FP|=x+p/2 (抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离);
    ⑥弦长公式:AB=√(1+k^2)*│x2-x1│;
    ⑦△=b^2-4ac;
    ⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项;
    ⑨标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是:yy0=p(x+x0)。
    ⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根;
    ⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根;
    ⑶△=b^2-4ac<0没实数根。

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